平面区域分割问题的推理与证明

平面区域分割问题的推理与证明

问题1:直线分割平面问题

描述:

定义平面上的直线任意两条直线均不平行,并且没有多线共点(每个交点仅有两直线经过),则称这些直线“居于一般位置”。平面上有\(n\)条居于一般位置的直线,可将平面分割为\( A_n \)个区域,其中\(A_n \)满足:

\[ A_n = 1+ \frac{n(n+1)}{2} \]

分析:

当\( n\)非常小的时候,\(n=1\)时,将平面一分为二,\( A_1=2\);\(n=2\)时则将两个平面分成4部分,\(A_2=4\);\(n = 3\)时,将两直线分割的四个区域中的其中三个区域一分为二,也就是说将平面分成\(A_3=7\)部分。归纳猜想:对于平面上\(n-1\)条居一般位置的直线,再添加一条一般位置的直线可将平面增加\( n \)个区域。

如果我们证明了这个猜想的正确性,那么可以得出一个递推公式,从而计算通项。

证明:

既然直线居一般位置,添加一条直线不可能在区域的边界:这条直线或者将区域一分为二(这样就多出了一个区域),或者与这个区域不相交。
我们向已有\( n\)条直线的区域添加第\(n+1\)条直线,暂时先将第\(n\)条直线移走,那么新添加的这\(n+1\)条直线就起到了第\(n\)条直线的作用,根据假设这样平面上增加了\(n\)个区域。接下来把第\(n\)条直线放回去,只需要证明这第\(n\)条直线的存在使得第\(n+1\)条直线多出了一个区域。
既然所有直线都居于一般位置,第\(n\)条直线与第\(n+1\)条直线必然在某个区域\(R\)内交于点\(p\).于是这两条直线就都分割了区域\(R\),每条直线单独把\(R\)分成两部分,同时两者也把区域\(R\)分成了4部分。因此,没有第\(n\)条直线的时候,添上第\(n+1\)直线的时候会把\(R\)区域多分出两部分而不是一部分,而且只有区域\(R\)与第\(n+1\)条直线有关,所以在没有第\(n\)条直线时,第\(n+1\)条直线会增加\(n\)个区域,而有第\(n\)条直线时第\(n+1\)条直线就会增加\(n+1\)个区域。
故证毕。

这样我们证明了猜想的正确性,即\( A_{i} = A_{i-1} + i \),且\(A_1 = 2\),根据此递推表达式不难计算出通项。

问题2:圆周的点分割圆区域问题

描述:

圆周上有n个不重合的点,将这n个点全部连接起来,连接时不经过已有的两弦的交点,这样可将圆周切分成最多\( F_n \)个区域,其中\( F_n \)满足:

\[ F_n=1+\frac{n(n-1)}{2} + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} \]

分析:

根据拓扑学中的欧拉公式在平面的应用,平面上\( E \)条边形成\( V \) 个顶点分割成\(F\)个面区域,满足\( V+F=E+2 \)(这里常数2即为欧拉示性数,在其它的拓扑结构中是其它值)。本问题中要计算目标为\( F\),那么只需推导\( V=V(n) \) 与 \( E = E(n) \)。

圆周上有\( n \)个点,首先将圆切分成n条边,然后任意两点都可以连接一条弦,所以首先形成了\(E(n)= n+\begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} \)条边。
顶点数首先是圆周上的\( n \) 个点,然后从圆周上任选4点的两条弦相交可以再构成一个顶点,所以顶点数为\(V(n)= n+\begin{pmatrix} n \\ 4 \end{pmatrix} \)。弦与弦相交形成的那些顶点会将弦一分为二,所以图形最终的边数应是 \(E(n)= n+\begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} +2 \begin{pmatrix} n \\ 4 \end{pmatrix} \) 。

所以,可得到平面区域数量为:\[ F(n) = E(n)+2-V(n) =2+ \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ 4 \end{pmatrix} \]

\( F(n) \)是被 \( V\)个顶点\( E \)条边所分割的平面区域的数量,其结果包含了圆外的一个区域,而所求的区域数量是圆内部的。所以,圆周上n个顶点连线可将圆最多分成的区域数量为:
\[ F_n = 1 + \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ 4 \end{pmatrix} \]

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