多元函数微分 习题

多元函数微分 习题

主要是测试一下MathJax功能

已知\(f(x+y,x-y)= x^2-y^2+\phi(x+y)\),且\( f(x,0)=x\),求\( f(x,y) \)表达式

解法1:令\( u=x+y,v=x-y\)
则,\( x=\frac{u+v}{2},y=\frac{u-v}{2}\)
所以\( f(u,v)=\frac{1}{4}(u+v)^2+\frac{1}{4}(u-v)^2+\phi(u)=uv+\phi(u)\)
即\( f(x,y)=xy+\phi(x)\)
由于\( f(x,0)=x\),所以\( \phi(x)=x\)
可知\( f(x,y)=x(y+1)\)

解法2:\( f(x+y,x-y)=(x+y)(x-y)+\phi(x+y)\)
可知\( f(x,y)=xy+\phi(x)\), 下同。

求旋转抛物面\( z=x^2+y^2\)与平面\( x+y-2z=2\)之间的最短距离

设\( P(x,y,z)\)为抛物面\( z=x^2+y^2 \)上任一点,则点P到平面\( x+y-2z-2=0 \)的距离为:
\[ d=\frac{\sqrt{6}}{6}|x+y-2z-2|\]
即在\( x^2+y^2-z=0\)的约束下求\( (x+y-2z-2)^2\)的最小值。
构造 \( F(x,y,z)=(x+y-2z-2)^2 + \lambda (z-(x^2+y^2)) \)
分别求导并令各导数为0,有

\[
\begin{cases}
F’_x=2(x+y-2z-2)-2\lambda x = 0\\
F’_y=2(x+y-2z-2)-2\lambda y = 0\\
F’_z=2(x+y-2z-2)-\lambda  = 0\\
z=x^2+y^2\\
\end{cases}
\]

解出此方程唯一驻点\( x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{4},z=\frac{1}{8}\)
由实际意义知最小值存在,为\[ d_{min}=\frac{\sqrt{6}}{6}|\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-2|=\frac{7\sqrt{6}}{24} \]

 

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