函数展开成幂级数 习题

函数展开成幂级数 习题

主要是测试一下MathJax功能

将函数\( f(x)=ln(1+x)\)展开成\( x\)的幂级数

\[ f'(x) = \frac{1}{x} = \sum_{n=0}^\infty{(-1)^nx^n}, (-1<x<1)  \]
从0到x积分,得 \[ \ln(1+x) = \sum_{n=0}^\infty{(-1)^n}\int_0^x{x^n}dx = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}} ,-1<x<1 \]
上式右端的幂级数在\( x=1 \)收敛,而\( ln(1+x) \)在\( x=1 \)有定义且连续,所有展开式对\( x=1 \)也是成立的,于是收敛区间为\( -1<x\leq 1 \).

利用此题可知 \[ \ln(2) = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5} +…+(-1)^n\frac{1}{n+1}+… \]

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注