一年级的数学课上，老师带你认识了一二三，也教会你比较4与3的大小，因为从你会计数开始，就知道4个苹果比3个苹果要多。

之后十几年的学习中，在不断地扩充数系中，你会比较更多形式的数字。之所以你会比较这些数字，更多地是依赖于恒等变换，将复杂的数系下的数式变换为简单的数系的数字形式，然后直接比较大小并得到结论。

直到学到集合论，不再是比较数字或数式的大小，而是比较集合中元素数量的大小。看起来还很轻松，集合的元素数量只需要数一数就可以，反正是数量，零一二三往后数就行。

但如果是无限集合，能不能比较元素数量的大小呢。

先退回到最初的比较4个苹果与3个苹果大小的问题。为什么4个苹果比3个苹果多，不妨记集合A为4个苹果，\( A=\{ \) 🍎, 🍎, 🍎, 🍎\(\}\)，记集合B为3个苹果，\( B=\{ \) 🍎, 🍎, 🍎\(\}\)（世界上没有两颗完全一样的苹果）.做如下的操作：当从集合A中拿出1个苹果时，同时也从B中拿出一个苹果。每次操作两个集合之间的元素数的相对大小关系不会改变。这样的操作重复3次后，集合B已经是空集，而集合A还有元素存在，即，集合A的元素数大于0，集合B的元素数等于0，从而集合A的元素数大于集合B的元素数，于是4大于3。

为了便于描述，以及显得稍微专业一点，我们还是用一点数学记号：定义集合的势（cardinal number），表示集合的元素个数，对于集合\( X \) ，用\( |X|\)或 \( card(X) \)表示集合的势。在上例\( A=\{ \) 🍎, 🍎, 🍎, 🍎\(\}\)，\( B=\{ \) 🍎, 🍎, 🍎\(\}\)中，\( |A| = 4, |B| = 3, |A|>|B| \)

那么再问一遍，如果是无限集合，能不能比较元素数量的大小呢？从自然数集 \( N=\{0,1,2,3,\cdots \} \)与正整数集\( N^+ = \{0,1,2,3,\cdots \} \)入手，试问两个集合的势，也就是两个集合的元素数哪个更多。如果直接答：自然数集的元素更多，因为自然数集有个0，它总比正整数集多1个元素。那可就得接着往下看了。在前述两个苹果集合中，从集合A中取出1个苹果同时从B中也取出一个苹果，这两颗被同时取得的苹果就被绑定起来了，可视为集合A中的一枚苹果与集合B中一颗苹果一一对应（映射），同时集合B中的这颗苹果也与集合A中的苹果一一对应，而两个集合间能够建立起一一对应关系，使得其中一个集合的全部元素都被映射而另一个集合中的元素有剩余，我们则称存在剩余未被映射元素的集合有更大的势。自然数集\( N \)到正整数集\( N^+ \)之间存在映射 \( f(x) = x+1 \)，正整数集\( N^+ \)到自然数集\( N \)之间亦存在映射 \( f(x) = x-1 \)，使两个集合之间的所有元素都被映射，所以结论是正整数集\( N^+ \)和自然数集\( N \)是等势的。（无限大这个量不是初等数学的概念，并不能简单地用数值考虑它的大小。如果你还没有学过高等数学，那么其实也无所谓。你只需知道无限大不是一个数值，它是一个过程量，两个无限大相减或相除可能是任何值。关于无限集合，有一个有趣的数学问题叫作「希尔伯特旅馆悖论」，篇幅所限在此就不展开了）。

对于无限集合，我们只要设法找到两个集合之间相互的映射，就能知道两个集合的势的大小关系。例如，对于全体偶数集合\( A= \{ \cdots, -6,-4,-2,0,2,4,6, \cdots \} \)和自然数集 \( N=\{0,1,2,3,\cdots\} \)，自然数集\( N \) 到 \( A\) 有映射：\( f(x) = \begin{cases} x & ,\text{if x is even} \\ -x-1 & ,\text{if x is odd} \end{cases}\)， \( A\)到\( N \) 有映射\( f(x) = \begin{cases} x & ,\text{if x } \geq 0 \\ -x-1 & ,\text{if x } \lt 0 \end{cases}\)，都使两个集合之间的所有元素一一对应，于是可得结论两个集合的势也是相同的。

如果扩充一个维度呢，第一象限内所有整数点的集合，\( X = \{ (x,y) | x \in N^+, y \in N^+ \} \)，看起来它的“边界”更不容易被控制，集合\( X \)的势总要比自然数集的势要大了吧。但结论是它们仍然是等势的。

如下图(I)所示，集合X的元素就是平面直角坐标系下所有横纵坐标为正整数的点。如果用图(II)的排布方式，即按\( |x+y| \)从小到大，且\( |x+y| \)相同时按\( y \)从小到大的顺序，逐一将正整数填入平面直角坐标系。这样集合X的每一个元素，总可以有唯一的正整数与这个坐标对应，同样地，任何一个正整数也总能确定它在平面直角坐标系中的位置。

集合\(X\)到集合\(N^+\)的映射，即由图\( (I) \)到图\( (II) \)的映射，我们用\(f(x,y)\) 来表示， \( f(1,1) = 1, f(2,1) = 2, f(1,2) = 3, f(3,1)=4 , \cdots \) 。\(f(x,y) \)的一般表达式的计算过程留给读者（提示：先计算\( f(x,1) \) )。

集合\(N^+\)到集合\(X\)的映射存在，即正整数z到坐标(x,y)的关系，由两个函数\( x=f_x(z)与y=f_y(z) \) 确定，但不能用初等表达式来表示。