记\( a_n = f(n,1) \),
\( a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 4\)，相邻\(a_n\)之差即是第一象限内\( |x+y| \)相同值的数量-1，不难得到\( a_{n+1} = a_n + n \)，于是求出通项公式为\[ a_n = 1+\frac{ n(n-1)}{2} \]

于是得到 \[ f(x,1) = 1+\frac{ x(x-1)}{2} \]

怎样把y引入呢，(x,y)的横纵坐标之和为x+y，而前述已经计算出y=1的表达式，横纵坐标之和为x+y且y=1的坐标是(x+y-1,1)，可代入上式，有\[ f(x+y-1,1) =1+ \frac{ (x+y-1)(x+y-2)}{2} \]

对于|x+y|相同的坐标则按y由小到大，依次增加1。纵坐标y到1的偏移量y-1即是f(x,y)比f(x+y-1,1)增加的值。即\( f(x,y) = f(x+y-1,1) + y-1 \)

代入并化简即得\[ f(x,y) = \frac{ (x+y-1)(x+y-2)}{2} + y \]